Физика колебаний. Свободные колебания

Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение и предоставленное самому себе, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе редко используются в технике, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль в колебательном процессе чрезвычайно важна. Дело в том, что поведение системы при свободных колебаниях характеризуют её «динамическую индивидуальность», которая определяет поведение системы при всех других условиях. После того как по струне рояля ударит один из молоточков, струна продолжает совершать колебания – свободные колебания. Такие колебания возможны благодаря тому, что струна обладает двумя свойствами: 1) имеет массу и поэтому при своём движении может накапливать кинетическую энергию; 2) имеет способность накапливать потенциальную энергию при отклонении её от состояния равновесия. Точно так же обычный маятник может совершать колебания благодаря тому, что, во-первых, он обладает массой, и во-вторых, при отклонении от положения равновесия он накапливает потенциальную энергию. Свободные колебания обладают следующими свойствами: 1)развитие движения во времени зависит от того, когда оно началось; 2) движение постоянно затухает.

Если ударить по клавише «ля» средней октавы рояля мы услышим звук с частотой 440 Гц. В действительности это есть лишь частота преобладающих колебаний, поскольку струны рояля совершают, кроме того, дополнительные малые колебания с частотами 440*2, 440*3, 440*4 Гц и т.д. Эти колебания называются обертонами. Отчасти именно благодаря этим обертонам мы имеем возможность отличать звуки различных музыкальных инструментов, голосов людей, животных, птиц и т.д.

Для наилучшего представления этого колебания вообразим движение точки Q, описывающей с постоянной угловой скоростью w окружность радиуса a.Проекция радиуса a на ось x равна

Q

a Aaa x

x=acos(wt+j) (3.1)

где t–произвольный момент времени, j -начальная фаза колебаний. Формула (1.1) описывает гармонические колебания с периодом

T = 2p/w (3.1¢)

В акустике используют так называемую линейную частоту колебаний:

n=w/ 2p (3.1¢¢)

Скорость точки, совершающей колебания по закону (3.1) найдём как

u= dx/dt = - wa sin(wt+j) (3.2)

Колебательная система обладает одной степенью свободы, если всевозможные конфигурации, которые она способна принимать, можно различить, приписывая соответствующие значения только одной переменной величине так называемой «обобщенной координате». Так, положение цилиндра, катящегося по горизонтальной плоскости, определяется углом, на который он поворачивается относительно некоторого начального положения.

Обозначим через q обобщённую координату, определяющую конфигурацию системы с одной степенью свободы. Если в результате бесконечно малого изменения координаты dq, частица массы m проходит путь dS, то

dS=adq (3.3)

где a - коэффициент, обычно различный для различных частиц, а также зависящий от той конкретной конфигурации q, которая подверглась изменению. Отсюда, разделив на приращение времени Δt, получим для скорости этой частицы

V=adq/dt=aq¢ (3.4)

Следовательно кинетическая энергия частицы

T=½(mV²)=½aq¢² (3.5)

Где

a=(ma)²

Коэффициент a является, вообще говоря, функцией q; его можно назвать «коэффициентом инерции» для данной конфигурации q. Например, в случае цилиндра если q – угловая координата, то a – момент инерции (обычно переменный) относительно линии соприкосновения цилиндра с горизонтальной плоскостью. Потенциальная энергия системы, поскольку она зависит от конфигурации системы, является функцией только координаты q. Если обозначить её через f, то по закону сохранения энергии

Другое по теме:

Изучение особенностей формирования пространственно временных представлений у старших дошкольников с ТНР
Экспериментально исследование сформированности пространственно-временных представлений у старших дошкольников с ТНР и у их нормально говорящих сверстников проводилось на базе дошкольных учреждений ГОУ «Ясли-сад № 1» г. Белоозерска, ГОУ «Ясли-сад № 4» г. Белоозерска в период с 01.09.2010 по 20.05.20 ...

Значение ознакомления дошкольников с животным миром для развития гуманности
Экологическое образование и воспитание, направленное на формирование у человека научного познания природы, убеждений и практических навыков, определённой ориентации и активной жизненной позиции в области охраны природы, рационального использования и воспроизводства природных ресурсов является объек ...

Критерии и характеристики сформированности готовности к профессиональному самоопределению
Говоря о профессиональном самоопределении и выборе профессии учеников 8 – 11 классов, следует отметить существование определенных критериев и их характеристик сформированности у старшеклассников готовности к профессиональному самоопределению. Проявлениями критериев сформированности готовности к про ...