Будем считать, что струна обладает постоянной линейной плотностью r и растянута силой натяжения P. Направление оси x выберем вдоль положения равновесия струны, через y обозначим поперечное отклонение в точке x в момент времени t. Предполагается, что угол наклона ¶y/¶x кривой, образованный струной в любой момент времени t, настолько мал, что изменением натяжения можно пренебречь. При этих условиях уравнением движения элемента dx будет
rdx ¶2y/¶t2 =dPsin(j) (5.1)
где j - угол наклона касательной относительно оси x. Действительно, правая часть представляет собой разность проекций в направлении y натяжения на обоих концах элемента. На основании только что сделанного предположения можно положить
sinj < tg j = ¶y/¶ x (5.1')
так что уравнение (1) можно переписать
¶2y/¶t2=V2 ¶2y/¶t2 (5.2)
где V2=P/r, где V – скорость. Кинетическая энергия любого участка струны выражается интегралом
T=1/2 ròy'2dx (5.3)
взятым в соответствующих пределах. Потенциальную энергию можно вычислить двумя способами: 1) можно представить, что струна перемещается из состояния покоя в положении равновесия, в состояние покоя в любом другом заданном положении при помощи приложенных к ней поперечных сил. Для простоты предполагаем, что на любой стадии этого процесса все ординаты находятся в постоянном отношении (K) к своему конечному значению y, так что последовательные формы струны отличаются только по амплитудам силы, которая должна быть приложена к элементу dx, для того чтобы уравновесить натяжение на его концах, есть
-¶/¶x (Psinj)dx
синусу j следует положение равное K¶y/¶x при увеличении K на dx приращение смещения равно ydK. Полная работа, выполненная над этим элементом, поэтому будет равна:
-Pyy" dx 0ò1 Kdk= -1/2 Pyy"dx (5.4)
а потенциальная энергия
f=-1/2 P òyy" dx (5.5)
Пользуясь вторым методом, мы вычислим работу, произведённую при растяжении струны против натяжения P. Увеличение длины элемента dx приблизительно равно
Ö1+y'2 dx - dx=1/2 y'2dx (5.6)
так что
f=1/2 P'òy'2dx (5.7)
Эти выражения дают одинаковые результаты, когда интегрирование выполнено по всей возможной длине струны. Действительно при интегрировании по частям получим:
-òyy''dx= -[yy']+òy'2dx (5.8)
Первый член справа относится к значениям на пределах интегрирования струны. Он исчезает на концах возможного участка, т.к. здесь y равно нулю.
Другое по теме:
Методика
использования занятий по изобразительной деятельности как средства
эмоционального воспитания детей
Исследование особенностей сенсорно-перцептивной сферы детей с умеренной и тяжелой интеллектуальной недостаточностью - составная часть комплексного психолого-медико-педагогического изучения ребенка, которое проводится в соответствии с существующими нормативами. Нами было проведен эксперимент, позвол ...
Проектирование системы работы с одаренной молодежью
В соответствии с важнейшими документами в области образования (Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года, Концепция государственной молодежной политики в РФ, нормативные документы и рекомендации Минобрнауки, Рособразования, Рособрнадзора, Концепция и программа развития С ...
Ценности современной молодежи
Ценностные ориентации рассматриваются как смыслообразующая основа человеческой жизни, обозначающаю для личности все то, что затрагивает ее как субъект: сознание и самосознание, целеполагание, избирательность и свободу, т.е. ценностные ориентации выражают внутренний мир личности. В процессе трансфор ...