Колебания скрипичной струны

Теория колебания струны, возбуждаемой действием смычка, довольно сложна, однако основные моменты этой теории были выяснены Гельмгольцем. Поскольку высота тона оказывается соответствующей собственной частоте струны, колебания могут, в известном смысле, считать «свободными», функция смычка заключается в поддерживании движения путём сообщения струне энергии. В скрипке и других инструментах, у которых струны сделаны из лёгкого материала и опираются на подставку, укреплённую на поверхности, очень легко приводимой в движение (крышка резонансной полости), потери энергии могут быть относительно велики. Действие смычка состоит в том, что благодаря трению, он в течение некоторого времени увлекает за собой струну, затем струна отрывается от смычка и отходит назад под действием собственной упругости; после некоторого промежутка времени смычок снова захватывает струну и ведёт её вперёд и т.д., причём полный цикл занимает период свободного колебания.

Чтобы получить данные для материального исследования, Гельмгольц начал с экспериментального изучения характера колебаний в различных точках. Период колебаний наблюдаемой точки слагается из двух промежутков времени, обычно неравной длительности, в течении которого точка движется взад и вперёд, соответственно, с постоянными, но, вообще говоря, неравными скоростями. Далее, установлено, что отношение обоих промежутков времени равно отношению двух отрезков, на которые струна делится в этой точке. Эти результаты подтверждены исследованиями в результате которых получили временной график зависимости пути, проходимого точкой, более непосредственным способом. Для получения чётких кривых следует принять некоторые меры предосторожности. Многое зависит от умелого пользования смычком и от качества инструмента. Чтобы избежать неудачных искажений графика, смычок должен касаться струны в узле одной из гармоник, а наблюдаемая точка должна находиться в другом узле той же гармоники. За исключением тех двух моментов, в каждом периоде, когда происходит внезапное изменение скорости, ускорение наблюдаемой точки равно нулю. Из уравнения

¶2y/¶t2=V2¶2y/¶x2 (6.1)

следует, что вблизи P кривизна струны должна быть равна нулю, и, значит, в любой момент форма, принимаемая струной, составлена из прямых отрезков. Оказывается, что можно удовлетворить всем условиям задачи, предположив, что форма струны всегда состоит из двух таких отрезков, пересекающихся в некоторой переменной точке Q.

Пусть на рис.1 AB=L –невозможное положение струны и пусть a= AN и b=NQ.

Уравнение обоих участков струны будут:

y1=bx/a (6.2)

y2=b(L-x)/(L-a) (6.3)

и разность между скоростями точек, лежащих вблизи точки Q по обе стороны от неё равна:

y'1 - y'2= - Lba'/a(L - a) (6.4)

_ A Q

_

_

N B

Рис. 1

За время dt, точка Q проходит участок струны a'dt, так что скорость массы ra'dt на приведённую выше величину. Это есть результат возбуждения поперечной силы

Py'2- Py'1 = - PLb/a(L-a) (6.5)

где P –натяжение, действующее в течение времени dt.

Приравнивая изменение количества движения импульсу силы, находим

a2 =P/r=V2 (6.6)

Точка Q разрыва наклона струны должна перемещаться направо и налево со скоростью c. Предположим, что точка Q начинает своё перемещение из A в момент t=0 и что b вначале положительно. Наблюдения Гельмгольца показали, что скорость в точке x, а именно

y'2=(L – x) d/dt (b/(L - a))=(L - x)c d/da(b/(L - a)) (6.7)

постоянна в течение промежутка времени x/c, откуда

b=ca(L- a) (6.8)

аддитивная постоянная отсутствует, т.к. b должна обращаться в нуль вместе с a. Это уравнение дуги параболы, проходящей через точки A и B. Поэтому все условия задачи будут удовлетворены, если предположить, что точка Q движется взад и вперёд вдоль двух таких дуг со скоростью c так, как это показано на рис.1. Подставляя значение максимального смещения b0, получим

C=+-4b0/L2 (6.9)

и уравнение обоих участков струны в любой момент времени имеет вид

y1=4b0(L - a)x/L2 (6.10)

y2=4b0(L - x)a/L2 (6.10')

Остаётся разложить это колебание на его гармонические составляющие, что даёт следующий результат:

y=8b0/p2 S½sin(spx/L)sin(s(pct/L) (6.11)

где суммирование производится по всем целым положительным значениям s.

Наиболее простой случай вынужденных колебаний осуществляется путём сообщения струне в некоторой точке (x=a) заданного гармонического движения

y=bcos(Pt+a) (6.12)

Участки струны по обе стороны от этой точки следует рассматривать отдельно. Решениями будут

y1=sin(Px/c)bcos(Pt+a)/sin(Pa/c) [0<x<a] (6.13)

y2=sin(P(L-x)/c)bcos(Pt+a)/sin(P(L-a)/c) [a<x<L] (6.13')

т.к. они удовлетворяют общему дифференциальному уравнению (6.1) для x=0 и x=L дают y1=0 и y2=0, а для x=a сводятся к (6.12). Амплитуды y1 и y2 сильно возрастают, вследствие малости знаменателя, когда Pa/c или P(L-a)/c приблизительно равны величине, кратной p, т.е. когда период вынужденных колебаний 2p/P приблизится к периоду собственных колебаний струны длиной a или (L-a) соответственно. Чтобы получить для этих случаев результат, имеющий практическое значение, следует учесть диссипативные силы.

Другое по теме:

Проблемы родителей, имеющих ребенка с ограниченными возможностями
Семья, как и человек, является основной ценностью государства. Снижение в силу тех или иных причин социальной ценности отдельных категорий семей, находящихся в жизненно трудной ситуации, ограничивает раскрытие потенциальных возможностей человека. В подобной ситуации возникает комплекс проблем, сред ...

Здоровье подростков и причины возникновения проблем со здоровьем у подростков
Здоровье - состояние полного физического, духовного и социального благополучия людей, а не только отсутствие болезней и физических дефектов. Согласно зарубежным исследованиям, здоровье содержит в себе следующие составляющие: - физическую (физическая активность, физическое благополучие, физические о ...

Особенности психологической зависимости от азартных игр
Азарт – это многосистемный и патологически воздействующий фактор, но только для людей предрасположенных к этому виду зависимости. Для человека, подверженного этой болезни, потери которого в семейных отношениях, моральном и душевном здоровье, а также в финансовой сфере – не останавливают, игра на ап ...