Содержательный анализ массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы

«Современная математика слишком абстрактна, слишком оторвалась от своих исторических корней, что бы быть легко понятной и хорошо усваиваемой. Постоянное изменение предмета в сторону все большей его абстрактности вкупе с устоявшимся представлением о его неизменности делают ситуацию в математическом образовании все более иррациональной. Мысль о необходимости реформы математического образования постоянно обсуждается людьми, входящими в математическое сообщество».

В школьном курсе геометрии традиционно соединены два различных предметных содержания. Первое — знание о геометрических объектах, а также способы получения этих знаний и их прикладной аспект. Второе — понятие о доказательном выводе, а также идея объединения геометрических теорем в дедуктивную аксиоматическую систему. Геометрия трактуется в рамке первого содержания – как естественная наука, в рамке второго содержания – как прикладная логика.

Улучшение качества преподавания геометрии (проектирование новых курсов или разработка методического обеспечения существующих ), должно опираться на оценку того, на сколько существующая практика преподавания соответствует культурной задаче. Подобная оценка может быть проведена студентами педегогами – проектировщиками на примере массового школьного учебника.

Наиболее массовым курсом геометрии является курс А. В. Погорелова, который был разработан в 1978 – 1980 годах, одобрен министерством образования в 1981, и с тех пор не претерпевал существенных изменений. Поэтому именно анализ курса А. В. Погорелова, определение его возможностей и ограничений (критика в смысле И. Канта) актуальны для определения той границы, с которой может начинаться разработка новых подходов к преподаванию геометрии.

Критика существующего курса геометрии оказывается полезной не только для разработчиков курсов геометрии и их методического обеспечения, но и для подготовки педагогов – проектировщиков.

Без специальной работы студентам сложно выстроить рефлексивное отношение к геометрии как учебному предмету и к его представлению в курсе А. В. Погорелова, что связано в первую очередь с тем, что большинство современных студентов, сами учились по учебнику А. В. Погорелова.

Цель работы - оформление оснований и границ возможностей курса геометрии А. В. Погорелова.

Для этого решаются следующие задачи

реконструкция логических оснований курса А. В. Погорелова на основе культурной формы – аксиоматического подхода

определение оснований критики и описание границ и нежелательных побочных эффектов курса А. В. Погорелова с различных позиций.

представление критики учебника А. В. Погорелова как учебной задачи в подготовке педагогов -проектировщиков

Объектом работы является курс А. В. Погорелова в системе преподавания математики

Предмет – процедуры анализа учебного курса.

Гипотеза работы состоит в том, что непосредственная реализация аксиоматического метода в математике, приводит, с одной стороны к редукции этой культурной формы, с другой стороны, к увеличению трудностей школьников при изучении геометрии по сравнению с другими возможными подходами

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе рассматривается аксиоматический подход в преподавании математики.

Прежде чем говорить о аксиоматическом подходе, рассмотрим проблемы развития математики, начиная со времен Евклида и до наших дней.

А. Френкель и И. Бар–Хиллел в своей книге «Основания теории множеств» выделяют три кризиса математической науки. Первый произошел в пятом веке до нашей эры, причинами которого стали два парадоксальных открытия сделанных при превращении геометрии в точную дедуктивную науку. Первым открытием явилось то, что не все «геометрические сущности одного и того же соизмеримы друг с другом» (в современной терминологии тоже самое, что квадратный корень из 2 не есть рациональное число). Вторым открытием явились парадоксы школы Зенона, развивающие тему о невозможности построения конечной величины из бесконечно малых величин.

Результатами этого кризиса явились еще два блестящих достижения. Первое из них – теория пропорций, содержащаяся в 5-й и 10-й книгах Начал Евклида; второе - изобретенный Архимедом метод исчерпания, провозвестник современной теории интегрирования.

В 17 и 18 веках под впечатлением мощи новоизобретенного исчисления бесконечно малых большинство математиков применяли этот метод не задумываясь над тем, на сколько прочна его основа. Но в начале 19 века уяснение шаткости этой основы привело ко второму кризису оснований.

Стремясь преодолеть этот кризис, Коши в 30-х годах показал, как употребление бесконечно малых «может быть заменено корректным использованием пределов», а Вейерштрасс (60 – 70 годы) продемонстрировал возможность полной «арифметизации» анализа и теории функций.

Пуанкаре в 1900 г. на Втором международном конгрессе сказал: « Теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел… Математика … полностью арифметизирована… Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная строгость».

Но, по иронии судьбы, в то самое время уже выяснилось, что «бесконечные системы целых чисел» - часть теории множеств – весьма далека от абсолютной надежности своих основ. Выяснилось неожиданное расхождение мнений и точек зрения по поводу основных математических понятий (начиная уже с понятия множества и числа). Этот факт «вынуждает говорить о третьем кризисе основ, который математика переживает до сих пор» [28, с 28].

Здесь же разобраны положительные и отрицательные стороны аксиоматического подхода к математике в целом и в учебнике геометрии А. В. Погорелова в частности.

Вторая глава посвящена критике учебника геометрии А. В. Погорелова.

Под критикой какого-либо содержания мы понимаем – выявление его границ, которое происходит за счет того, что анализируются все возможные следствия из данного содержания, такой определение критики было дано И. Кантом.

Критика производится по следующим основаниям

реализация аксиоматического подхода

«полнота» вводимой теории

адекватность возрасту

адекватность материала культурным задачам преподавания.

Третьей главе обсуждается образовательное значение критики в обучении педагогов – математиков. Выделено две ступени критики: первая ступень – не содержательная критика, личные переживания; вторая ступень – содержательная критика из занимаемых позиций. После анализа студенческих работ по критике учебника, выяснилось, что студентам удерживаться на 2-ой ступени не удается, т.к. у студентов отсутствует собственная позиция.

Мы предлагаем на второй ступени формулировать задания исходя из возможных позиций, уже в самой формулировке задания описывать позицию. Мы предполагаем, что такими позициями могут быть выделенные во второй главе основания критики.

В заключении описываются основные результаты нашей работы

Показано, каким образом учебник А. В. Погорелова реализует аксиоматический подход в построении математического знания.

Показано, что учебник А. В. Погорелова может претендовать на полноту и связность системы евклидовой геометрии, но при этом не соответствует ни возрастным особенностям школьников, ни культурной задаче преподавания геометрии.

Показаны особенности решения студентами задачи критики учебника и предложены рекомендации к тому, как сделать эту работу более продуктивной по содержанию и полезной для студентов.

• Происхождение аксиоматического метода
• Особенности современного аксиоматического подхода
• Аксиоматика евклидовой геометрии
• Два подхода к преподаванию математики и задача проектирования курса геометрии
• Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова
• Критика реализации аксиоматического подхода у А.В. Погорелова
• Образовательное значение критики школьного учебника в обучении педагогов математиков

Другое по теме:

Психолого-педагогическая поддержка одаренной учащейся молодежи
- Проектирование содержание, технологии обучения, оценки, достижений достижений учащихся для системы дистанционного обучения в профильных классах по математике, информатике, истории, химии, географии; - усиление направленности деятельности студенческого самоуправления на воспитание высоконравственн ...

Организация уроков литературного чтения по развитию нравственных качеств у младших школьников
Процесс нравственного воспитания есть общественное осуществление педагогически целенаправленной деятельности по организации нравственной подготовки подрастающих поколений, результатом которой является усвоение растущим человеком социального морального опыта и формирование нравственных качеств его л ...

Пути формирования этических представлений у детей
В. А. Сухомлинский считает, что воспитание с помощью этики важно создавать как процесс открытия ребёнком самого себя и других, как углубление в «своё небывалое», как неожиданное откровение, как поиск, творчество, игра, путешествие, постоянный и не замечаемый ребёнком диалог с миром, соприкосновение ...