Особенности современного аксиоматического подхода

Эти требования включают в себя полноту (возможность вывести из системы аксиом всё содержание теории), непротиворечивость (отсутствие в теории утверждений, выводимых из аксиом и противоречащих друг другу) и независимость (невозможность вывести какую-либо аксиому из других аксиом этой теории).

Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций. Данный метод заключается в следующем: пусть каждому исходному понятию и отношению данной аксиоматической теории T поставлен в соответствие некоторый конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению теории T естественным образом ставиться в соответствие некоторое высказывание об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение теории T составлено истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойство обычно сами являются объектом рассмотрения какой – либо математической теории T, которая, также, может быть аксиоматической.

Слабая сторона метода интерпретаций состоит в то, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получить только результаты, носящие относительный характер. Важным достижением этого метода стало выявление особой роли арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.

Дальнейшее развитие аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было выработано дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а именно понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представить сами математические теории как точные математические объекты и строить их общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом соблазнительной представлялась перспектива решить на этом пути главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений - формул, в котором некоторым точным образом выявляется подкласс формул, называемых теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы не несут в себе никакого содержательного смысла; их можно строить из произвольных знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технического удобства. На самом деле, способ построения формул и понятия теоремы, той или иной формальной системы, выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применить для возможно более адекватного и полного выражения той или иной конкретной математической (или не математической) теории. Всякую конкретную математическую теорию T перевести на язык подходящей формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) предложение теории T выражается некоторой формальной системы S. Такой метод построения теории, Гильберт назвал методом формализации.

Другое по теме:

Сущность эстетического воспитания
Взрослые и дети постоянно сталкиваются с эстетическими явлениями. В сфере духовной жизни, повседневного труда, общения с искусством и природой, в быту, в межличностном общении - везде эстетические категории прекрасное и безобразное, трагическое и комическое играют существенную роль. Красота доставл ...

Методика использования контрольно-аттестационного комплекта на занятиях по другим дисциплинам экономического направления
Цель контрольного процесса на занятиях экономического направления: убедиться, что приобретенные знания и умения по определенным дисциплинам соответствуют предъявляемым требованиям. Место, в которое целесообразно поместить проверку в процессе обучения, определяется ее целями. Как было установлено, о ...

Придумывание слов на определённый звук
В дошкольном возрасте основной вид деятельности ребенка – это игра. Занимательная игровая ситуация помогает ребёнку комфортно и эффективно развивать фонематический слух и преодолевать дефектное произношение на индивидуальных, групповых и фронтальных занятиях. Вначале детей учим слышать, различать и ...