Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Технологический проект урока-мастерской
Проект урока - это представленный учителем план проведения урока с возможной корректировкой (заложенной изначально вариативностью урока). Мастерская - педагогическая технология XXI века, разработанная педагогами "Французской группы нового образования" - GFEN. Это форма организации многоме ...

Психолого-педагогическая характеристика ребенка 3-х летнего возраста
По данным, которыми в настоящее время располагает психологическая наука, 3-х летний возраст является одним из ключевых в жизни ребенка и во многом определяет его будущее психологического развитие. К трем годам память, восприятие, воображение и внимание ребенка начинают приобретать человеческие свой ...

Рекомендации по усовершенствованию социальной работы по формированию положительного отношения подростков к здоровью
Проблема здоровья подрастающего поколения считается чрезвычайно важной во всем мире, так как оно является основным показателем благополучия общества и государства. В последние годы наблюдается неуклонный рост числа заболеваний и отклонений в состоянии здоровья детей и подростков, возникновение кото ...