Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Музыкальное восприятие как основной вид детской музыкальной деятельности
Развитие музыкального восприятия является важнейшей задачей музыкального воспитания детей. Приобщая ребенка к музыкальному искусству, мы должны решить важную педагогическую задачу, по словам В. А. Сухомлинского, «не кем вырастет, а каким вырастет ребенок». Таким образом, музыка – своеобразный мости ...

Программа семейного воспитания детей раннего возраста
Данная программа разработана Министерством образования Республики Беларусь, НИИ образования. Предназначена программа предназначена для родителей. Цель программы – помочь родителям ориентироваться в разнообразных проявлениях своего ребенка, предоставить им необходимую информацию об особенностях его ...

Цель, задачи, методика проведения исследования
Данная работа была проведена на базе МДОУ № 69 комбинированного вида для детей с нарушениями опорно-двигательного аппарата. С 8 января по 14 февраля 2008 года. Цель нашего исследования: изучение фонетико – фонематических функций у дошкольников с детским церебральным параличом. Задачи: 1. Обследоват ...