Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Технология коррекции голоса
И.И. Ермакова выделяет следующие основные задачи логопедической работы по коррекции голоса при ринолалии: 1. Нормализация тембра. 2. Развитие природных голосовых данных детей. 3. Восстановление двигательной функции гортани при заболеваниях голосового аппарата. 4. Воспитание навыков правильного голо ...

Методика работы с наглядностями на уроках истории
Рассмотрим некоторые из видов средств наглядных пособий, предусмотренных выше изложенной классификацией. Знаток мелового рисунка B.C. Мурзаев был преподавателем истории и рисования. В своей книге «Рисунки на классной доске в преподавании истории», ставшей библиографической редкостью, он писал: «В э ...

Составляющая контрольно-аттестационного комплекта
Экономика - относительно новый школьный предмет, преподавание его связано со многими вопросами. В течение более чем десятилетнего школьного существования нерешенные вопросы становятся хроническими проблемами, и требуют если не быстрого решения, то, по крайней мере, детального рассмотрения и перспек ...