Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Преобразования Галилея
Преобразования Галилея – это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. Событие определяется местом, где оно произошло (координаты ), и моментом времени , когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа: – коорд ...

Психофизиологические особенности детей младшего школьного возраста
Каждый возрастной этап характеризуется особым положением ребенка в системе принятых в данном обществе отношений. В соответствии с этим жизнь детей разного возраста наполняется специфическим содержанием: особыми взаимоотношениями с окружающими людьми и особой, ведущей для данного этапа развития деят ...

Характеристика эмпирических исследований
К методам эмпирического исследования следует отнести: изучение литературы документов и результатов деятельности, наблюдение, опрос, оценивание (метод экспертов или компетентных судей), тестирование. К более общим методам этого уровня относятся обобщение педагогического опыта, опытная педагогическая ...