Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое по теме:

Предпосылки развития письменной речи в онтогенезе
Письмо – результат длительной эволюции попыток человека выразить свою мысль не сиюминутно, а продлить ее во времени. В самом начале этого пути человек рисовал то, что хотел сообщить. Затем появились более условные способы: картинка-схема, узелковое письмо, клинопись, иероглифы и, наконец, буквы. Че ...

Особенности развития детей в младшем школьном возрасте, влияющие на необходимость осуществления социальным педагогом психотерапевтической функции
Младший школьный возраст – период жизни ребенка примерно от 6 – 7 до 10 – 11 лет, когда он проходит обучение в начальных классах и среднем звене современной школы . Р.П. Ефимкина в книге «Детская психология» говорит о том, что в младшем школьном возрасте закладывается фундамент нравственного поведе ...

Анализ литературы по проблеме формирования навыков общения у детей с умственной отсталостью
Анализ современной логопедической литературы показывает, что основное внимание исследований в этой области сосредоточено на проблемах собственно языкового развития детей с речевой патологией. Вопрос о специфике развития невербальных средств общения у данной категории детей, о характере (конвенциона ...