Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

Предлагается разобрать эти понятия на примере теоремы: «если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон» . Только после доказательства теоремы автор говорит, что «утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиом и означает утверждение не вызывающее сомнений».

В следующем абзаце вводятся «правила» аксиоматического метода. А. В. Погорелов пишет «при доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т.е. аксиомами, а также свойствами уже доказанными, т.е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя» .

К концу первой главы введены все основные аксиомы Евклидовой геометрии, описаны все теоретические понятия, которые используются в геометрии, и приведены соответствующие примеры.

А. В. Погорелов не говорит и не дает представления о возможности разных интерпретаций свойств в разных теориях. Введя аксиомы таким способом, А. В. Погорелов сразу говорит о свойствах фигур. Аксиома, заданная как свойство, уже не может быть интерпретирована в другой теории, уже невозможно провести соответствие с реальным миром.

А. В. Погорелов не дает возможность интерпретации аксиом как свойств простейших фигур, в следствии чего возникает убеждение, что аксиомы прямо соответствуют свойствам.

После сравнения аксиом, введенных А. В. Погореловым, с аксиомами евклидовой геометрии рассмотрим несколько примеров введения понятий.

Предварительно стоит уточнить, что одним из основных правил составления А. В. Погореловым учебника, является правило использование уже известных и доказанных ранее фактов. Листая учебник можно уточнить это правило. «Используемые понятия должны быть введены «недавно, рядом», лучше, если в этой же главе.

Рассмотрим примеры введения понятий в учебнике А. В. Погорелова с точки зрения аксиоматического подхода и нашего уточнения.

1. Параграф 4 главы 1 «Планиметрия» называется «Сумма углов треугольника». Первое, что мы видим в этой главе «признаки параллельности прямых». У школьников и у студентов, критикующих учебник часто возникает вопрос: «Причем здесь признаки параллельности прямых?».

В поисках ответа на этот вопрос листаем дальше. Следующий пункт этой главы «Сумма углов треугольника». Вот и ответ.

Для доказательства теоремы о том, что сумма углов треугольника равна 180, нужны знания о параллельных прямых и сумме внутренних накрест лежащих углов, которые вводятся в пункте «признаки параллельности прямых».

А. В. Погорелов решил проблему «недостающих знаний», введя их непосредственно перед необходимостью использовать.

Разобрав структуры с точки зрения аксиоматического подхода становиться заметной необходимость такого строения. Ученик не может восстановить замыслы автора, поэтому для него подобные вставки остаются безосновательными. На наш взгляд, такое построение учебника приводит к тому, что у ученика к концу школы складывается четкое непонимание геометрии.

2. Такое же построение учебного материала отмечено и в параграфе 5 этой же 1 главы. Параграф называется «Геометрическое построение». В пунктах 26 –33 действительно производиться построение, а вот пункт 24 (опять же первый в параграфе) «Окружность».

Какое отношение имеет понятие окружность к параграфу про построение? Самое прямое. Все построения, так или иначе, связаны с понятием окружности, а оно еще не было введено, следовательно, с точки зрения из аксиоматического подхода, пользоваться им нельзя. Конечно нельзя, но ввести то можно. Теперь, когда введено понятие окружности, объяснения построений становиться возможным.

Другое по теме:

Реализация методических рекомендаций по обучению прикидке и оценке результатов вычислений в 5- 6 классах
Фрагмент урока №1 Класс : шестой Тема : «Умножение положительных и отрицательных чисел» Тип урока : закрепление нового материала Цель фрагмента : на основе правил сравнения и умножения положительных и отрицательных чисел без вычислений, путем рассуждений (экономя тем самым время), выполнять задания ...

Особенности организации учебной деятельности одаренных студентов
Ориентация на талантливых студентов предполагает разработку системы мер для оптимизации организационных условий образовательного процесса, что в свою очередь требует выявления отношений одаренных студентов к различным сторонам организации образовательной деятельности. Одаренные студенты привержены ...

Общая характеристика сенсорно-перцептивной сферы детей с умеренной и тяжелой интеллектуальной недостаточностью
В работах по специальной психологии умственно отсталых детей подчеркивается, что основным признаком этого состояния является недоразвитие познавательной стороны деятельности. Недоразвитие и недостатки познавательной деятельности проявляются и в сенсорно-перцептивном освоении умственно отсталыми дет ...